“Бублик, бублик!” – кричали ребята, не подозревая, что Колобок смертельно ранен.
Детский анекдот
Почему-то к типичным представителям русской национальной кухни – бубликам и другим бараночным изделиям, таким как сушки, баранки, выработалось самое, что ни на есть пренебрежительное отношение. Это проявляется уже в названиях, содержащих грубый суффикс “к”. Повинна в этом и элементарность круглой формы бублика, его поперечного сечения, и пустое отверстие в нём – пресловутая “дырка от бублика”, и сходство его с нулём, синонимом которого он стал. Само слово “бублик” родственно английскому “
bubble”, означающему “пузырь” – другой синоним ненадёжности, пустоты.А между тем за, казалось бы, невзрачной и простой формой бублика скрыто немало сложных и интересных, как для учёного, так и для инженера, свойств. Недаром в науке, технике и природе тор – именно так строго называют геометрическое тело вращения в виде бублика – встречается очень часто. Если укрепить на валу электродвигателя круглое проволочное кольцо, то при быстром вращении оно выпишет в пространстве как раз поверхность тора (рис. 1) – тор образован окружностью, вращаемой вокруг оси
a. Центр образующей окружности (радиуса r) выпишет при вращении кольцевую ось (радиуса R). Именно этим – сочетанием сразу двух простых круговых форм (кольцевой оси и круглого сечения) или движений (вокруг оси a и вокруг кольцевой оси) – и объясняется частая встречаемость тора.
Взять те же бублики. Как все бараночные изделия, они принимают форму тора в процессе изготовления их баранкоформующим автоматом. Работает он так. Порция теста выдавливается в кольцевой зазор между соосными цилиндрическими поверхностями трубы и стержня, протыкающего тесто, словно Колобка в анекдоте. Труба скользит вдоль стержня, отчего бесформенная масса теста скатывается меж цилиндрическими поверхностями, как пластилин между руками, в колбаску, замкнутую концами в кольцо. Именно так – скатывая тесто в колбаску, которую затем сгибали в кольцо, соединяя концы, – и лепили прежде на Руси баранки и бублики. Видно, отсюда и пошла традиция отвечать на вопрос “Ну?” грубым “Баранки гну!”.
Форму тора имеют и накачанная пневматическая велосипедная камера, и автопокрышка, и спасательный круг. Определяется такой их вид не столько исходной формой оболочки камеры (все видели, что в сдутом состоянии покрышка – это плоское кольцо), сколько тем, что среди всех тел вращения заданного объёма с кольцевой осью заданной длины тор имеет наименьшую поверхность (4π
2rR). Поэтому резиновая оболочка камеры, принимая такую форму, оказывается наименее растянутой, находится в состоянии с наименьшей потенциальной энергией.Тор в автомобиле встречается повсеместно. В форме его выполняется рабочая поверхность червяка в глобоидной передаче – разновидности червячной. Поверхность тора придана и желобам на дисках иногда устанавливаемого вместо коробки скоростей вариатора – устройства для плавного, бесступенчатого изменения передаточного отношения. Симметричными половинками двух торов, разрезанных вдоль, образованы и стенки насосного и турбинного колёс гидромуфты, иногда исполняющей в автомобиле роль сцепления. Торообразно, наконец, рулевое колесо автомобиля, на водительском жаргоне грубо называемое за это “баранкой”. Таким его делают из соображений жёсткости, симметрии и удобства. Теми же критериями руководствовались, придавая форму тора спортивным снарядам: гимнастическим кольцам, обручу (хула-хупу), резиновому кольцу эспандера для упражнения пальцев.
В организме человека тор тоже встречается повсеместно. Так, в запястно-пястном суставе большого пальца – своего рода карданном шарнире, позволяющем пальцу поворачиваться вправо-влево и вверх-вниз, седлообразные суставные поверхности хрящей образованы двумя контактирующими торами. Считается, что именно этот сустав, позволивший большому пальцу противостоять остальным, превратил обезьяну в человека конструирующего. Приблизительно форму тора, если не считать перемычки в центре, имеют красные клетки крови – эритроциты, словно маленькие спасательные круги, не дающие человеку задохнуться без кислорода. А некоторые их патологические формы столь близки к тору, что их так и называют – “тороциты”. Такая форма обусловлена, как и у пневматической камеры, стремлением клеточной оболочки эритроцита быть наименее деформированной. В кровеносных сосудах эритроциты часто слипаются в столбики, соединённые своими концами в торообразные кольца. Если эритроциты сравнивать с баранками, то такие кольца следует уподобить кольцевым связкам баранок. Форму тора часто имеют и кольцевые мышцы – сфинктеры.
В физике тор тоже нередок. Торообразны вихревые кольца, скажем, колечки дыма. Здесь форма тора создана круговым движением газа или жидкости вокруг кольцевой оси вихря, где давление минимально. Форму тора имеют вакуумные камеры токамаков – магнитных ловушек для плазмы. Плазма, или, как говорят, плазменный шнур, в токамаке тоже имеет форму тора: созданная ловушкой конфигурация магнитного поля заставляет заряженные частицы двигаться по винтовой линии, замкнутой в кольцо. Форму тороида имеют и некоторые природные
магнитные “ловушки” заряженных частиц – от радиационных поясов Земли и других планет до торообразных электронных облаков в атоме. В форме тора часто выполняют ферритовые сердечники кольцевых катушек индуктивности, объёмные резонаторы в клистронах (устройствах, генерирующих мощные волны СВЧ диапазона), вакуумные камеры у некоторых стеллараторов (другой тип магнитной ловушки) и ускорителей (синхротроны и синхрофазотроны).В форме тора, для экономии материала поверхности, предлагают выполнять и висящие в открытом космосе обитаемые станции и поселения с искусственной силой тяжести, созданной вращением станции, так и названной Станфордским тором. Внутри такого тора люди будут ходить по его боковой поверхности, словно мухи по стенкам стеклянной банки. Именно так – как огромные стеклянные банки – и представлял себе космические поселения К.Э. Циолковский.
Итак, форма “бублик”, несмотря на простоту, обладает многими интересными свойствами, потому и распространена она весьма широко. В какой бы области ни работал человек, ему рано или поздно приходится с ней сталкиваться. Но, как показывает практика, к этой встрече человек обычно не готов: когда требуется изобразить тор или бублик, он часто делает это неправильно, причём ошибаются и становятся в тупик даже опытные учёные и инженеры. Впредь не повадно будет смеяться над бубликовой простотой!
Конечно, изобразить бублик под силу и малышу, – он нарисует просто один кружок внутри другого (рис. 2.а). Другое дело – правильно изобразить бублик, как мы его обычно наблюдаем – не прямо сверху, а под углом. Мало кто ошибается, рисуя лишь слегка наклонённый тор: изображают просто не два кружка, а два овала, эллипса (рис. 2.б). Это и понятно: все круглые предметы (колёса, монеты, отверстия), видимые под углом, представляются нам сплюснутыми, а сплющенная окружность – это эллипс.
Однако бублик, значительно наклонённый, многие изображают уже неверно, допуская в рисунке грубые ошибки. В том числе полагают, что больший наклон ведёт лишь к ещё большему уплощению эллипсов. Но, как легко убедиться на практике, овальным, эллипсовидным будет только внешний контур бублика. Контуры же пресловутой “дырки” от него при постепенном наклонении бублика приобретают в определённый момент два заострения (овал становится “лодочкой”), из которых с увеличением наклона появляются два отростка, отчего контуры “дырки” принимают вид рта с усами по краям (рис. 2.в). Объясняется это тем, что ближнее к наблюдателю полукольцо бублика частично загораживает отверстие, “усекает” его. И “усы” суть не что иное, как продолжения контуров переднего полукольца, видимые на фоне заднего.
При дальнейшем наклонении ближний край бублика всё больше закрывает отверстие – “рот” закрывается, а “усы” между тем отрастают всё длиннее. Наконец отверстие исчезает совсем, остаются только длинные “усы”, залихватски закрученные вверх (рис. 2.г). Если же на бублик смотрят с ребра, то исчезают и они, сливаясь с внешним контуром (рис. 2.д
).
Оказывается, нарисовать “простой” бублик совсем не так просто. Что, например, следует рисовать на месте “дырки” – овал, “лодочку”, “рот с усами”, одни “усы” или вообще ничего? Где должен находиться “рот”: точно посредине бублика или, как нередко рисуют, немного выше? Когда появляются и до какой длины отрастают “усы”? Ответить на эти вопросы и построить точную проекцию тора – ведь именно проекцией на зрительную (картинную) плоскость являются видимые контуры бублика – помогают методы начертательной геометрии. Но мы предложим более быстрый, простой и наглядный метод изображения тора.
Такой метод может быть разработан на основе того, что в любой тор можно вписать сферу радиуса
r – радиуса образующей окружности тора. Понятно, что сфера всегда будет касаться тора как раз по образующей окружности, а центры их будут совпадать. Поэтому у любой вписанной сферы центр лежит на кольцевой оси тора. Проекция этой оси на плоскость будет, очевидно, всегда иметь форму эллипса. А проекция сферы всегда будет окружностью того же радиуса r, с центром на этом эллипсе. Теперь, если рассмотреть множество вписанных в тор сфер, то огибающая соответствующего им в проекции семейства окружностей (рис. 3) будет совпадать с проекцией тора, поскольку проекции сфер будут точно так же вписаны в проекцию тора, как сами сферы – в тор.
Получившиеся кривые-огибающие оказываются эквидистантами эллипса. Эквидистанта в переводе с латинского означает “равноотстоящая”. Действительно, как несложно заметить (рис. 3), кривая отстоит от эллипса всюду на одно и то же расстояние
r. Именно поэтому видимые контуры тора были так похожи на эллипсы, особенно если r/R мало. Итак, задача о построения проекции тора сводится к построению эквидистант эллиптической проекции его оси. Проще всего построить эллипс и эквидистанты к нему при помощи компьютера, используя, например, широко распространённую чертёжную программу “Компас” – замечательное творение отечественных инженеров, выгодно отличающееся от западных аналогов. Но мы в лучших классических традициях предложим простой механический прибор, делающий то же самое нагляднее и изящнее.Нарисовать эллипс несложно: для этого часто используют отрезок нити, закреплённой концами в фокусах (
F и F΄) ύллипса с помощью булавок (рис. 4). Нить натягивают грифелем карандаша и ведут им по бумаге. Грифель при этом вычертит дугу эллипса, продолжая которую строят всю кривую. Эквидистанты эллипса в соответствии с определением чертят, проводя к нему множество нормалей (рис. 3), вдоль которых в обе стороны от кривой откладывают отрезки постоянной длины (в нашем случае r). После соответствующие концы отрезков соединяют плавными кривыми – это и будут эквидистанты. Остаётся сконструировать прибор, автоматизирующий всё это.
Сложнее всего научить прибор находить нормали к эллипсу. Можно придумать немало довольно сложных устройств, осуществляющих это. Мы же предложим достаточно простой прибор – назовём его торографом, – который не только тор строит, но и сам легко строится. Принцип его работы следующий. Вместо одной строящей эллипс нити берутся две. Они должны иметь одинаковую длину и закрепляться в одних и тех же точках-фокусах
F и F΄. Εсли строить эллипсы последовательно каждой нитью, то они совпадут. В устройстве же обе нити натягиваются одновременно в очень близких точках M и N (рис. 5).
Поэтому отрезок
MN, их соединяющий и являющийся, как несложно понять, хордой нашего эллипса будет почти точно совпадать и с его дугой MN, и с касательной к её середине. Совпадение тем лучше, чем ближе друг к другу точки M и N. Нормаль – это перпендикуляр к касательной и восстановить его несложно. Окончательно рабочий орган торографа (РОТ) должен иметь вид обыкновенного креста с перпендикулярными перекладинами, пересекающими друг друга точно посередине. Концы одной перекладины (MN) будут натягивать нити, а концы другой (KL) – чертить эквидистанты (рис. 5). Единственным недостатком такого метода является неточное попадание середины KL на линию эллипса, а значит неточное построение эквидистант. Но при малой длине MN это несовпадение столь ничтожно, что особой роли не играет.Остаётся создать техническое воплощение торографа. Для него потребуются: плоская деревянная дощечка из фанеры или ДВП, бумага, два коротких (около сантиметра) обломка карандашного грифеля, четыре тонких сапожных гвоздика, прочная нитка или леска и, наконец, самое главное – старый ластик.
Если сапожных гвоздиков нет, то их можно приобрести в ближайшей будке по ремонту обуви, или изготовить самостоятельно из простых столярных. Для этого берут самые тонкие гвозди (
), обкусывают их кусачками до длины в пять миллиметров, и затачивают напильником концы. Такие короткие гвозди значительно легче и быстрее забивать и выдёргивать, к тому же они не гнутся и не выходят с другой стороны дощечки.
Теперь о том, как собирать устройство. Дощечка – это миниатюрная чертёжная доска, планшет. На неё кладут лист бумаги для будущего чертежа. В двух помеченных на бумаге точках (фокусах эллипса) делают надколы шилом. В них втыкают два гвоздика и забивают их молотком, но не до конца, а так чтобы их шляпки возвышались над бумагой примерно на миллиметр. Одновременно эти же гвозди служат кнопками, пришпиливающими лист к чертёжной доске.
К одному вбитому гвоздю привязывают нить за её середину (длина нити должна превышать удвоенное расстояние между гвоздями). После её свободные концы складывают, и полученную двойную нить привязывают к другому вбитому гвоздю. Натягивая одну из нитей карандашом, пунктиром строят эллиптическую проекцию оси тора.
Остаётся собрать рабочий орган устройства. Для этого на ластике карандашом или ручкой размечают крест, а концы его перекладин накалывают шилом. В надколы на длинной перекладине втыкают два грифеля так, чтобы их концы выступали миллиметра на три, а в концы короткой – два гвоздика; их шляпки должны возвышаться примерно на миллиметр. Рабочий орган (рис. 6) готов – можно чертить тор.
Для этого одним гвоздём РОТа зацепляют и натягивают одну нить, а другим – другую. Надо следить, чтобы каждая нить касались только своего гвоздика – не зацеплялась за другой, а также за грифели. Теперь, прижимая РОТ грифелями к бумаге, и держа ластик большим и указательным пальцем, ведут им по бумаге, следя за сохранением натяжения нитей (рис. 7). Если всё сделано верно, РОТ вычертит две ровных красивых дуги. Неприятности начнутся, когда РОТ приблизится к одному из гвоздей. Здесь нити начинают задевать друг за друга, за грифели, за гвозди. Поэтому дальше следует вести РОТ, постоянно заглядывая под него и перебрасывая нити при зацеплении их за очередное препятствие.
Наконец проекция тора построена. Внешний контур получился, как и ожидался, эллипсовидным, но внутренний иногда вызывает вопросы. Вместо “рта с усами” получили “конфетку” (рис. 8). А там, где должны бы по идее быть только “усы”, получилась “подушка” (рис. 9). Возникают такие конфигурации оттого, что мы не сделали ограничений на видимость линий контура. Будь тор из стекла, мы бы увидели именно такую картину. Но поскольку поверхность считаем непрозрачной, часть линий окажется невидима, и если изобразится, то линией невидимого контура. Несложно понять, как “конфетка” вписывается в контуры “рта с усами”, а “усы” описывают контуры “подушки”. Сплошные линии переходят в линии невидимого контура, как несложно понять, в точках самопересечения кривой
S, S΄ и в точках заострения B, B΄ (πисунки 8, 9) – особых точках кривой, называемых точками возврата.
Изменяя длину нитей, расстояние между гвоздями, грифелями строят разные торы, видимые под разными углами. Построив прибором достаточное число проекций тора, читатель настолько “поднатореет” в этом, что отпадёт всякая необходимость в дополнительных инструментах – уловив основные принципы, он сможет рисовать бублик прямо от руки. Так что и бублик нарисовать – нужны знание и навык. Напрасно пренебрегали бубликом – под его простенькой формой скрыто ещё немало интересного. Так, мы совершенно не затронули важную роль тора в дифференциальной геометрии, топологии и теории колебаний. Бублик достоин уважения в степени не меньшей, чем идеально круглая и предельно простая сфера.
Сергей Семиков
Дата установки: 25.03.2007
