Правильно проложить курс важно не только в открытом море-океане, но и в космосе. Поэтому определение, даваемое капитаном Врунгелем “штурманской науке”, гласившее: “Навигация – это наука, которая учит нас избирать наиболее безопасные и выгодные пути, прокладывать эти пути на картах и водить по ним корабли”, верно и в отношении астронавигации (астрогации). Но если в море выгодный курс сберегает топливо и время (он прокладывается по кратчайшему расстоянию меж двумя точками поверхности земного шара), то в космосе он призван экономить топливо в ущерб времени. Ракета летит не прямо, а по кривой, делая большой “крюк”, да ещё и вылетает нередко из точки отправления к точке назначения в момент их наибольшего удаления (гомановская орбита)...

    Причина – огромный расход топлива, даже при движении по оптимальному курсу. Вот почему топливо в современных космических кораблях расходуется крайне экономно, лишь на начальных и конечных отрезках пути. В остальное время ракетные двигатели не работают: ракета движется по инерции, являясь игрушкой в руках космической стихии, дрейфующей в поле притяжения Солнца и планет по естественной траектории. Задача астроштурмана в том и состоит, чтобы рассчитать оптимальную траекторию и определить, как направить по ней корабль, лечь на проложенный курс, в остальное время полагаясь на природный автопилот – гравитацию.

    Что же собой представляют эти естественные космические траектории? Общеизвестно, что в поле тяготения единственного космического тела, скажем Солнца или Земли, эти естественные космические траектории представляются так называемыми коническими сечениями (КС). Как следует из названия, КС – это кривая, получаемая в сечении прямого кругового конуса плоскостью. Поэтому КС нередко демонстрируют следующим остроумным способом. Берут карманный фонарик, расходящийся сноп света которого, как несложно понять, имеет форму конуса с вершиной-лампочкой, и освещают им затенённую поверхность пола (рис. 1). Контур высвеченного участка и есть КС: плоская поверхность пола пересекла конический луч света. Форма КС, как легко убедиться, зависит не от высоты фонарика над полом (она влияет лишь на размер светового пятна), а от угла его наклона к вертикали.

    Если фонарик направлен отвесно в пол (ось конуса перпендикулярна секущей плоскости), пятно имеет форму круга. При небольшом отклонении фонаря от вертикали круг света вытягивается, приобретая овальные очертания (рис. 1). Такое КС (рис. 2.а) называется эллипсом. Дальнейший наклон приводит к увеличению длины эллипса, которая в определённый момент (когда верхний край луча параллелен полу) становится бесконечной: сечение перестаёт быть замкнутым. Это КС (рис. 2.б) называется параболой. Наконец, ещё склонив ось фонарика, получают световое пятно, ограниченное последним коническим сечением, гиперболой (рис. 2.в), имеющей в отличие от параболы вторую ветвь, симметричную первой.

    Для построения и демонстрации конических сечений можно буквально за минуту собрать несложное устройство, действующее по принципу фонарика. Потребуются обычная лазерная указка, медная проволока и металлический наконечник закончившегося стержня от шариковой ручки. Наконечник нужен блестящий (хромированный) и заканчивающийся правильным конусом с гладкой зеркальной поверхностью без неровностей, царапин и борозд от точения. Переберите несколько старых стержней и обязательно найдёте один такой. Очищенный наконечник укрепите с помощью проволоки напротив лазера, остриём навстречу выходящему лучу (рис. 4). Эта установка напоминает гиперболоид инженера Гарина, но действует противоположным образом: не собирает расходящийся поток света в узкий пучок, а рассеивает лазерный луч зеркалом наконечника в тонкую коническую поверхность (её можно увидеть в задымлённом помещении).

    Освещая включенным в темноте прибором лист белой бумаги, наблюдают яркую и чёткую кривую – уже само коническое сечение, а не область внутри него. Если зафиксировать прибор (с зажатой скотчем кнопкой) в держателе, то, обводя карандашом высвечивающиеся кривые, можно легко и быстро построить любое КС. Поскольку карандаш и рука будут при этом временами отбрасывать тень, то лучше воспользоваться прозрачным планшетом из оргстекла, с наложенным на него со стороны противоположной падающему лучу листом кальки. Прозрачные планшеты и бумага часто используются и настоящими штурманами и астроштурманами в ЦУПе. На рассеивающем матовом покрытии кальки, словно на экране телевизора, высветится след лазерного луча, который уже можно спокойно обвести карандашом.

    А теперь немного усовершенствуем нашу установку: удалим шарик из наконечника. Его выдавливают иголкой или булавкой, введённой в канал для пасты. Шарик вывалится, а получившееся сквозное отверстие можно ещё немного расширить, пробив той же иглой, или пройдя его тонким сверлом. Прибор с таким наконечником помимо светящегося контура даёт и маленькое световое пятнышко внутри него. Несложно понять, что эта светящаяся точка, созданная той частью луча, что прошла сквозь отверстие, представляет собой след оси конуса (оси лазерного луча) на секущей плоскости. Но вот догадаться, чем она является по отношению к горящему КС сложнее.

    В жизни с проецированием на плоскость мы сталкиваемся регулярно. Проекциями являются тени, отбрасываемые предметами на плоскую поверхность, а видимые контуры тел – это проекции предметов на зрительную (картинную) плоскость. Поэтому, наблюдая высветившееся КС глазом, помещённым на оси прибора, мы видим проекцию кривой на плоскость перпендикулярную этой оси. При этом окружность нам видна такой, какая она есть в действительности – круглой, тогда как остальные КС, видимые под углом, будут сжиматься, оставаясь, однако, и в проекции коническими сечениями.

   Раз у проекции окружности фокус совпал со световой точкой, то, может, и у проекций других КС они совпадают? Забегая вперёд, скажем, что так оно и есть в действительности. Те, кто знаком с аналитической геометрией, легко в этом убедятся, вычислив положение фокусов КС, являющегося решением системы пространственных уравнений прямого кругового конуса – x² + y² = cz² и секущей плоскости – z = ay + b (см. рис. 5). Но мы докажем это положение проще, из геометрических соображений. Без уравнений убедиться, что данная точка – это фокус, можно единственным способом – используя определение фокуса, как центра, от которого все точки КС отстоят всегда в какое-то постоянное число ε раз дальше, чем от некоторой прямой (директрисы). Так что дело за малым: мы угадали фокус, остаётся угадать директрису – найти на чертеже (рис. 5) в плоскости XOY, в которой мы нашли проекцию КС и его фокус O, какую-то мозолящую глаза, словно световое пятнышко, прямую. Такой прямой оказывается линия a пересечения плоскости XOY и секущей. Итак, если a и O удовлетворяют условию постоянства ε, то доказано, что это – директриса и фокус проекции сечения.

   Воспользуемся для доказательства рисунком 5, оставшимся от аналитического подхода, с его обозначениями и системой координат, вдоль осей которой удобно вести проецирование на её же плоскости. Как и в аналитическом решении, вершина конуса совпадает с началом координат O, плоскость XOY перпендикулярна оси конуса – оси Z, а плоскость YOZ перпендикулярна секущей. Угол раствора конуса – 2α, угол между секущей плоскостью и осью Z – β. Обозначим также произвольную точку N сечения и соответствующую ей в проекции точку M. Соединим M с вершиной O и опустим перпендикуляр MH на линию a. Требуется доказать, что отношение MO/MH есть величина постоянная и независящая от положения точки М на проекции. Для этого достаточно выразить длину одного отрезка, например MO, через длину другого – MH, чтобы они сократились.

   Сперва, через точку N параллельно XOY проведём плоскость, обозначив пересечение её с осью Z точкой B. Раз плоскости параллельны, то MO = NB = OB·tg(α) (из прямоугольного треугольника NBO). Отрезок же OB = OA – AB. Если опустим перпендикуляр NC на плоскость YOZ, из прямоугольного треугольника ABC найдётся катет AB = BC / tg(β). В плоскости XOY отрезку BC соответствует равная ему проекция OD = OE – ED. Но ED параллелен и равен MH, поэтому BC = OD = OE – MH. Вот и замкнулся круг – MO выразился через MH. Последовательно объединяя вместе полученные ранее равенства, подставляя одного в другое, получим: MO = (OA – OE / tg(β) + MH / tg(β))·tg(α). Но из прямоугольного треугольника AOE OE / tg(β) = OA, а потому MO = MH·tg(α) / tg(β). Или MO / MH = ε = tg(α) / tg(β) – величина, действительно, постоянная для всех точек данного конического сечения. Тем самым доказано: точка O и прямая a – это фокус и директриса проекции КС.

   Поскольку тип КС при проецировании не меняется, то легко видеть, что и впрямь у эллипса (α < β) ε < 1, у параболы (α = β) ε = 1, а у гиперболы (α > β) ε > 1. Удобно также рассматривать конус с прямым углом при вершине: α = 45º, тогда ε = tg (φ), где φ – угол между секущей и проекционной плоскостью. Но главное – мы показали, что фокус проекции КС на поперечную оси конуса плоскость лежит на оси конуса. Напомним, что проекцию КС можно увидеть, если смотреть на планшет вдоль оси лазерной указки, её луча. Таким способом можно наблюдать разные КС одного семейства (рис. 3), имеющие общий фокус и директрису – достаточно поворачивать секущую плоскость планшета вокруг оси a (рис. 5). Случай именно такого поворота плоскости показан на рис. 2.

   Общеизвестен классический ньютонов пример – Земля и вблизи неё точка L, из которой по касательной к поверхности выстреливается со скоростью V снаряд (рис. 7). При нулевой скорости запуска снаряд полетит отвесно вниз – напрямик к центру Земли O. Если сообщить снаряду небольшую начальную скорость, он полетит по узкому эллипсу, пересекающему земную поверхность (показана пунктриром). По мере дальнейшего роста скорости эллипс орбиты будет расширяться, округляться – ε будет уменьшаться. Когда ε уменьшится до нуля, траектория станет круговой, а скорость сравняется с первой космической скоростью (на поверхности Земли – 7,9 км/с). С дальнейшим увеличением V, траектория будет вытягиваться снова в эллипс – ε растёт, приближаясь постепенно к единице. Наконец, при ε = 1 траектория станет параболической, а скорость – второй космической (на поверхности Земли – 11,2 км/с). Замечательно, что вторая космическая скорость всегда больше первой ровно в раз. Ещё бóльшим скоростям запуска соответствуют большее значение ε и гиперболическая траектория, в пределе (при бесконечно большом значении V) переходящая в прямую.

   Но мало кто замечал, что те же самые метаморфозы претерпевает и проекция КС при повороте секущей плоскости вокруг прямой, перпендикулярной оси конуса и касающейся конической поверхности в точке L (см. рис. 8 с обозначениями с рис. 5). Действительно, при плавном уменьшении угла β секущей от (180º – α) до нуля, кривая проходит те же фазы (сечения а, б, в, г), что и траектория снаряда при росте скорости его запуска. В этом легко убедиться, закрепив лазер и наблюдая видоизменения проекций КС, возникающие при плавном повороте планшета вокруг фиксированной оси, касающейся светового конуса.

   Поэтому напрашивается вывод о возможности как-то связать скорость запуска V по КС с параметрами секущей плоскости, в которой оно получено. Дабы найти эту связь рассмотрим четыре значения скорости, четыре соответствующих им вида траектории и четыре положения секущей плоскости, дающих в проекции кривые такой формы (рис. 8). А именно, рассмотрим скорости: нулевую, первую и вторую космические, а также бесконечно большую. Им соответствуют следующие формы траекторий: прямая, направленная к центру O (сечение а, β = 180º – α), окружность (сечение б, β = 90º), парабола (сечение в, β = α) и прямая, касающаяся окружности (сечение г, β = 0º). Выразим скорости в условных единицах: нулевая равна нулю, первая космическая – единице, вторая найдётся как корень из двух, бесконечно большая равна бесконечности. Будем искать на рисунках 8 и 5 величины, меняющиеся подобным же образом.

    Сразу бросается в глаза, что похожим образом меняется отрезок OA, отсекаемый секущей плоскостью на оси конуса. Нулевой скорости запуска соответствует нулевая длина этого отрезка (OA´), первой космической – единичная (за условную единицу длины берём как раз длину OA´´), второй – двойная (OA´´´ = 2OA´´), а бесконечно большой скорости – бесконечная (параллельные прямые пересекаются в бесконечности). То есть во всех случаях OA меняется подобно скорости, с тем только исключением, что в случае в должна быть не двойка, а корень из двух. Поэтому догадываемся, что скорость пропорциональна не OA, а квадратному корню из OA. Таким образом, по удалённости от лазера световой точки на планшете можно судить о величине скорости, необходимой для выхода на траекторию в форме данной проекции КС. Этот вывод можно получить и строго.

    Выразим эксцентриситет сечения не через углы (ε = tg(α)/tg(β)), а через длины отрезков на рис. 5. Опустим перпендикуляр LK на ось конуса и получим два прямоугольных треугольника OKL и AKL, из которых tg(α) = LK / OK и tg(β) = LK / AK, откуда ε = AK / OK. Из курса космонавтики известна следующая формула: V² = , где G – константа гравитации, V – скорость ракеты в ближайшей к космическому телу (массой M) точке L орбиты, отстоящей от него на расстояние R = LO (рис. 7). Подставляя в формулу ε = AK / OK и учитывая, что OK + AK = OA, получим V² = , откуда OA = V²R·OK/GM. Тот же самый результат получится, и если β > 90º и L – наиболее удалённая точка орбиты (тогда V²).

   Поскольку G и OK – постоянны, то наше утверждение доказано: длина отрезка OA, отсекаемого на оси конуса плоскостью, пропорциональна величине V²R/M, где V – скорость в L, точке запуска, R – расстояние до неё. Допустим, мы с помощью штурманского прибора построили некоторую траекторию, но захотели узнать, как она преобразуется при изменении одного или нескольких параметров. Для этого достаточно вычислить, во сколько раз изменится величина V²R/M и пропорционально увеличить (или уменьшить) длину отрезка OA. Это делают, поворачивая планшет до тех пор, пока измеренное расстояние OA от пятна до лазера не изменится в требуемое число раз.

   Для этого, нацелившись световой точкой зафиксированного прибора на изображение Солнца и поворачивая один только планшет, последовательно проецируют на карту с помощью собирающей линзы три КС с рис. 9 (два, совпадающих с планетарными орбитами, и один сопрягающий их эллипс – орбиту Гомана, которая обводится карандашом). При этом для каждого положения планшета линейкой измеряется расстояние от световой точки на нём до лазера (OA, OC и OB на рис. 9). Корни из отношений этих расстояний – и – суть ни что иное, как отношения скоростей по планетарной и гомановской орбитам, соответственно в точках M и N касания этих орбит. Отсюда из известных орбитальных скоростей планет найдутся те добавочные скорости V_M и V_N, равные разнице скоростей по орбите Гомана и планет, которые надо сообщить ракете в точках M и N по направлению её движения для смены курса (траектории) при перелёте с внутренней орбиты на внешнюю, или против – для обратного перелёта. То же можно было сделать, и чисто геометрически выразив через радиусы планетных орбит длины OA, OC и OB на рис. 9.

Дата установки: 17.03.2007